Question

5．函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），對?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e²，則不等式f（x）＞e^x的解是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，ln2）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，繼而求出答案

解答 解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（ $\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則有g(shù)（x）在R上單調(diào)遞增，
∵不等式f（x）＞e^x，
∴g（x）＞1，
∵f（2）=e²，
∴g（2）=$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$=1，
∴x＞2，
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．