已知平面向量
OA
=(1，4)，
OB
=(-1，6)，向量
OP
=2λ
OA
+2(1-λ) 
OB
，λ∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求當(dāng)
OP
⊥
AB
時(shí)，
OP
的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)|
OP
|取最小值時(shí)，求
OP
與
AB
的夾角．
分析：由已知可求
OP
=2λ
OA
+2(1-λ) 
OB
，
AB
=
OB
-
OA
，
（1）由
OP
⊥
AB
可得
OP
•
AB
=0，可求λ，進(jìn)而可求
OP

（2）
OP
=（4λ-2，12-4λ）可得|
OP
|=
(4λ-2)2+(12-4λ)2
=
32λ2-112λ+148
，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求|
OP
|取最小值時(shí)的λ，代入向量的夾角公式cos＜
OP
，
AB
＞=
OP
•
AB
|
OP
||
AB
|
可求
解答：解：∵
OA
=(1，4)，
OB
=(-1，6)，
∴
OP
=2λ
OA
+2(1-λ) 
OB
=（2λ，8λ）+（2λ-2，12-12λ）=（4λ-2，12-4λ）
AB
=
OB
-
OA
=（-2，2）
（1）∵
OP
⊥
AB

∴
OP
•
AB
=-8λ+4+24-8λ=0
∴λ=
7
4
，
OP
=(5，5)
（2）∵
OP
=（4λ-2，12-4λ）
∴|
OP
|=
(4λ-2)2+(12-4λ)2
=
32λ2-112λ+148

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)λ=
7
4
時(shí)，|
OP
|取最小值時(shí)
此時(shí)，
OP
=（5，5），
AB
=（-2，2）
∴cos＜
OP
，
AB
＞=
OP
•
AB
|
OP
||
AB
|
=0，即夾角為90°
點(diǎn)評：本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示的基本運(yùn)算，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及夾角公式的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
OA
，
OB
滿足：|
OA
|=|
OB
|=2，
OA
與
OB
的夾角為
π
2
，又
OP
=λ1
OA
+λ2
OB
，0＜λ1≤1，1≤λ2≤2，則點(diǎn)P的集合所表示的圖形面積為（　�。�
A、8B、4C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=1，
OA
•
OB
=0，若
OC
=x
OA
+y
OB
（x，y∈R），則x+y的最大值是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
OA
、
OB
、
OC
為三個(gè)單位向量，且
OA
•
OB
=0．滿足
OC
=x
OA
+y
OB
（x，y∈R），則x+y的最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
OA
與
OB
的夾角θ∈[60°，120°]，且|
OA
|=|
OB
|=3，若
OP
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，則
|OP|
的取值范圍是
[
3
，
7
]
[
3
，
7
]
．

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