Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（x≠0，a∈R）
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷出a=0時(shí)，f（x）=x²為偶函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得當(dāng)x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₂＞x₁≥2，=，
由x₂＞x₁≥2得x₁x₂（x₁+x₂）＞16，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)只需f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，則a≤16．
另解（導(dǎo)數(shù)法）：，要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，只需當(dāng)x≥2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即，則a≤2x³∈[16，+∞）恒成立，
故當(dāng)a≤16時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，將已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的方程（不等式）是解答本題的關(guān)鍵．