【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b滿足f(1)=0,且在x=2時函數(shù)取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](t>0)上的最大值g(t)的表達式.

【答案】
(1)解:∵f(x)=x3+ax2+b,

∴f′(x)=3x2+2ax,

∵函數(shù)f(x)在x=2時函數(shù)取得極值,

∴f′(2)=0,即12+4a=0,

∴a=﹣3,

又∵f(1)=1﹣3+b=0,

∴b=2,

綜上a=﹣3、b=2


(2)解:由(1)可知f(x)=x3﹣3x2+2,

∴f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2),

∵x<0時,f′(x)>0,

∴函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上單調遞增;

∵0<x<2時,f′(x)<0,

∴函數(shù)f(x)在(0,2)上單調遞減;

∵x>2時,f′(x)>0,

∴函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調遞增;

∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為:(0,2),

單調遞增區(qū)間為:(﹣∞,0)∪(2,+∞)


(3)解:令f(x)=f(0),即x3﹣3x2+2=2,

解得:x=0或x=3,

∵函數(shù)f(x)在(0,2)上單調遞減,

∴當t∈(0,2]時,g(t)=f(0)=2;

∵函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調遞增,且f(3)=f(0)=2,

∴當t∈(2,3]時,g(t)=f(3)=2;

當t∈(3,+∞)時,g(t)=f(t)=t3﹣3t2+2;

綜上所述,g(t)=


【解析】(1)通過f′(2)=0及f(1)=0,計算即得結論;(2)通過對函數(shù)f(x)=x3﹣3x2+2求導,進而可判斷單調區(qū)間;(3)通過函數(shù)在[0,+∞)上的單調性,結合最值的概念,畫出草圖,計算即得結論.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習冊系列答案
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評估的平均得分

全市的總體交通狀況等級

不合格

合格

優(yōu)秀

1)求本次評估的平均得分,并參照上表估計該市的總體交通狀況等級;

2)用簡單隨機抽樣方法從這條道路中抽取條,它們的得分組成一個樣本,求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率.

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C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)

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【題目】海南中學對高二學生進行心理障礙測試得到如下列聯(lián)表:

焦慮

說謊

懶惰

總計

女生

5

10

15

30

男生

20

10

50

80

總計

25

20

65

110

試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關系最大?
參考數(shù)據(jù):K2=

P(K2≥k)

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.535

7.879

10.828

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【題目】某市教育局委托調查機構對本市中小學學校使用“微課掌上通”滿意度情況進行調查.隨機選擇小學和中學各50所學校進行調查,調查情況如表:

評分等級

☆☆

☆☆☆

☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

小學

2

7

9

20

12

中學

3

9

18

12

8

(備注:“☆”表示評分等級的星級,例如“☆☆☆”表示3星級.)
(1)從評分等級為5星級的學校中隨機選取兩所學校,求恰有一所學校是中學的概率;
(2)規(guī)定:評分等級在4星級以上(含4星)為滿意,其它星級為不滿意.完成下列2×2列聯(lián)表并幫助判斷:能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為使用是否滿意與學校類別有關系?

學校類型

滿意

不滿意

總計

小學

50

中學

50

總計

100

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