Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）．拋物線上的點M（m，1）到焦點的距離為2
（1）求拋物線的方程和m的值；
（2）如圖，P是拋物線上的一點，過P作圓C：x²+（y+1）²=1的兩條切線交x軸于A，B兩點，若△CAB的面積為

3 3

5

，求點P坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線定義易得 1+

p

2

=2，解得p．即可得到拋物線方程，把（m，1）代入拋物線方程即可得到m．
（II）當切線PB或PA斜率不存在，不符合題意．當切線PA，PB斜率都存在．即t≠±1，設切線方程為：y-

t2

4

=k(x-t)，利用圓心C（0，-1）到切線距離為半徑1和點到直線的距離公式可得 

|1+ t2 4 -kt|

k2+1

=1，化為關于k的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關系．利用切線PA：y-

t2

4

=k1(x-t)，切線PB：y-

t2

4

=k2(x-t)，可得點A，B的坐標，再利用S_△ABC=

1

2

|AB|×1即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線定義易得 1+

p

2

=2，解得p=2．
∴拋物線方程為x²=4y，
把（m，1）代入拋物線方程得m²=4，
解得m=±2．
（2）設點P(t，

t2

4

)，當切線PB斜率不存在，P(1，

1

4

)，設切線PA：y-

1

4

=k0(x-1)，
圓心C（0，-1）到切線距離為半徑1，

|1+ 1 4 -k0|

k 2 0 +1

=1，解得k₀=

9

40

，
∴A(-

1

9

，0)，∴S△ABC=

5

9

，不符合題意．
同理當切線PA斜率不存在，S△ABC=

5

9

，不符合題意．
當切線PA，PB斜率都存在．即t≠±1，
設切線方程為：y-

t2

4

=k(x-t) 圓心C（0，-1）到切線距離為半徑1，即 

|1+ t2 4 -kt|

k2+1

=1，
兩邊平方整理得：(t2-1)k2-2t(1+

t2

4

)k+

t4

16

+

t2

2

=0，設k₁，k₂為方程的兩根．
 韋達定理得：

△= t4 4 +6t2＞0 k1+k2= 2t(1+ t2 4 ) (t2-1) k1k2= t4 16 + t2 2 (t2-1)

，
則切線PA：y-

t2

4

=k1(x-t)，切線PB：y-

t2

4

=k2(x-t)，得A(

-t2

4k1

+t，0)，B(

-t2

4k2

+t，0)，
S_△ABC=

1

2

|AB|×1=

1

2

×

t2

4

×|

1

k1

-

1

k2

|
=

t2

8

|

k1-k2

k1k2

|=

t2

8

•

(k1+k2)2-4k1k2

|k1k2|

=

t2

8

•

t4 4 +6t2

|t2-1|

•

|t2-1|

t4 16 + t2 2

=

t4+24t2

t2+8

=

3 3

5

，
化為（t²-12）（t²-72）=0，解得t²=12或72．
∴t=±2

3

，±6

2

．∴P(±2

3

，3)，P(±6

2

，18)．

點評：本題考查了拋物線的定義及其標準方程、圓的切線的性質(zhì)、點到直線的距離公式、三角形的面積公式、弦長公式、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．