Question

5．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，右焦點為F（c，0），弦PQ過F且垂直于x軸，過點P、點Q分別作直線AQ、AP的垂線，兩垂線交于點B，若B到直線PQ的距離小于2（a+c），則該雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （0，$\sqrt{3}$）
• D． （2，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出直線BQ的方程，令y=0，可得B的坐標，利用B到直線PQ的距離小于2（a+c），得出a，c的關(guān)系，即可求出該雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，B在x軸上，P（c，$\frac{^{2}}{a}$），Q（c，-$\frac{^{2}}{a}$），∴k_AQ=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a-c}$，
∴k_BP=-$\frac{{a}^{2}-ac}{^{2}}$，
直線BQ的方程為y-$\frac{^{2}}{a}$=-$\frac{{a}^{2}-ac}{^{2}}$（x-c），
令y=0，可得x=$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$+c，
∵B到直線PQ的距離小于2（a+c），
∴-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$＜2（a+c），
∴b＜$\sqrt{2}$a，
∴c＜$\sqrt{3}a$，
∴e＜$\sqrt{3}$，
∵e＞1，
∴1$＜e＜\sqrt{3}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線方程的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．