Question

11．如圖，四棱錐V-ABCD的底面是直角梯形，VA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，VA=AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=a，點(diǎn)E是棱VA上不同于A，V的點(diǎn)．
（1）求證：無論點(diǎn)E在VA如何移動都有AB⊥CE；
（2）設(shè)二面角A-BE-D的大小為α，直線VC與平面ABCD所成的角為β，試確定點(diǎn)E的位置使$tanαtanβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導(dǎo)出AB⊥AC，AB⊥AV，由此能證明AB⊥CE．
（2）取BC中點(diǎn)F，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF，AD，AV所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出點(diǎn)E為VA的中點(diǎn)．

解答 證明：（1）連接AC，在直角梯形ABCD中，$AC=\sqrt{2}a，AB=\sqrt{2}a，BC=2a$，
所以BC²=AC²+AB²，所以AB⊥AC，…（1分）
又因為VA⊥平面，AB?平面ABCD，所以AB⊥AV，…（2分）
而AV∩AC=A，所以AB⊥平面VAC，…（3分）
又CE?平面VAC，所以AB⊥CE．…（4分）
解：（2）取BC中點(diǎn)F，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF，AD，AV所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
不妨設(shè)AE=λAV（0＜λ＜1），
可得B（a，-a，0），D（0，a，0），E（0，0，λa），
故$\overrightarrow{AB}=（a，-a，0），\overrightarrow{AE}=（0，0，λa）$，…（5分）
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面ABE的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=ax-ay=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=λaz=0}\end{array}\right.$，令x=1得，$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），…（6分）
又$\overrightarrow{DE}=（0，-a，λa），\overrightarrow{DB}=（a，-2a，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面DBE的一個法向量，
則$\left\{{\begin{array}{l}{-y+λz=0}\\{x-2y=0}\end{array}}\right.$，令z=1，可得$\overrightarrow{n}$=（2λ，λ，1），…（7分）
故cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3λ}{\sqrt{2}•\sqrt{5{λ}^{2}+1}}$，即$cosα=\frac{3λ}{{\sqrt{2}\sqrt{5{λ^2}+1}}}$…（8分）
因為AC為VC在平面ABCD內(nèi)的射影，所以∠CAV=β，
在Rt△VAC中，$tanβ=\frac{AV}{AC}=\frac{a}{{\sqrt{2}a}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（9分）
所以$tanαtanβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以tanα=1，$cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）
即$\frac{3λ}{{\sqrt{2}\sqrt{5{λ^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$，…（11分）
又0＜λ＜1，所以$λ=\frac{1}{2}$，點(diǎn)E為VA的中點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．