Question

選修4一1：幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．E為⊙O上一點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)F．
（I）證明：DF•EF=OF•FP；
（II）當(dāng)AB=2BP時(shí)，證明：OF=BF．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用弧長(zhǎng)相等，轉(zhuǎn)化為角相等，通過(guò)三角形相似證明：DF•EF=OF•FP；
（II）設(shè)BP=a，ly AB=2BP，通過(guò)相交弦定理以及數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明：OF=BF．
解答：.（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125524030878966/SYS201310251255240308789021_DA/0.png">，∴∠AOE=∠CDE，∴∠EOF=∠PDF，
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴，
∴DF•EF=OF•FP；
（II）設(shè)BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的關(guān)系，三角形相似以及相交弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．