Question

14、給定正整數(shù)n（n≥2）按右圖方式構(gòu)成倒立三角形數(shù)表，第一行依次寫(xiě)上數(shù)l，2，3，…，n，在第一行的每相鄰兩個(gè)數(shù)正中間的下方寫(xiě)上這兩個(gè)數(shù)之和，得到第二行的數(shù)（比上一行少一個(gè)數(shù)），依次類推，最后一行（第n行）只有一個(gè)數(shù)，例如n=6時(shí)數(shù)表如圖所，則當(dāng)n=2009時(shí)最后一行的數(shù)是

1005×2²⁰⁰⁸

．

Answer 1

分析：分析已知圖形中的各行數(shù)據(jù)分析第一行的第一數(shù)的變化情況，可以得到a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=8=1+2×2+3，a₄=20=1+2×2+2×3+4，…則a_n=C_n-1⁰×1+C_n-1¹×2+…+C_n-1^n-1×n，故不難求出當(dāng)n=2009時(shí)最后一行的數(shù)a₂₀₀₉的值．

解答：解：鄰第m行的第一個(gè)數(shù)為，a_m
∵可以得到a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=8=1+2×2+3，a₄=20=1+2×2+2×3+4，…
則a_n=C_n-1⁰×1+C_n-1¹×2+…+C_n-1^n-1×n，
當(dāng)n=2009時(shí)
最后一行的數(shù)
a₂₀₀₉=C₂₀₀₈⁰×1+C₂₀₀₈¹×2+…+C₂₀₀₈¹×n=1005×2²⁰⁰⁸
故答案為：1005×2²⁰⁰⁸

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)是歸納與類比及二項(xiàng)式定理的相關(guān)運(yùn)算，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，我們可以得到每一行第一個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律我們可以計(jì)算出每一行的第一個(gè)數(shù)字，將n=2009代入公式，即可求解．