數(shù)列{an},a1=1,an+1=2an-n2+3n(n∈N*
(1)是否存在常數(shù)λ、u,使得數(shù)列{an+λn2+um}是等比數(shù)列,若存在,求出λ、u的值,若不存在,說明理由.
(2)設(shè)bn=
1
an+n-2n-1
,Sn=b1+b2+b3+…+bn,證明:當(dāng)n≥2時(shí),
6n
(n+1)(2n+1)
<Sn<
5
3
分析:(1)設(shè)an+1=2an-n2+3n,an+1=2an-λn2+(μ-2λ)n-λ-μ,由題設(shè)導(dǎo)出an+1=2an-n2+3n.存在λ=-1,μ=1使得數(shù)列{an+λn2+μn}是等比數(shù)列.
(2)an=2n-1+n2-n,bn=
1
an+n-2n-1
=
1
n2
,當(dāng)n≥3時(shí),由bn=
1
n2
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
得S=b1+b2+b3+…+bn(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)
,由此能夠?qū)С霎?dāng)n≥2時(shí),
6n
(n+1)(2n+1)
<Sn<
5
3
解答:(1)解:設(shè)an+1=2an-n2+3n,
可化為an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2(an-λn2+μn),
即an+1=2an-λn2+(μ-2λ)n-λ-μ(2分)
λ=-1
μ-2λ=3
-λ-μ=0
  解得
λ=-1
μ=1
(4分)
∴an+1=2an-n2+3n
可化為(5分)
又a1+12+1≠0(6分)
故存在λ=-1,μ=1  使得數(shù)列{an+λn2+μn}是等比數(shù)列(7分)

(2)證明:由(1)得an-n2+n=(a1-12+1)•2n-1
∴an=2n-1+n2-n,
bn=
1
an+n-2n-1
=
1
n2
(8分)
bn=
1
n2
=
4
4n2
4
4n2-1
=
2
2n-1
-
2
2n+1
(9分)
∴n≥2時(shí),Sn=b1+b2+b3+…+bn<1
+(
2
3
-
2
5
)+(
2
5
-
2
7
)+…+(
2
2n-1
-
2
2n+1
)

=1+
2
3
-
2
2n+1
5
3
(11分)
現(xiàn)證Sn
6n
(n+1)(2n+1)
(n≥2).
當(dāng)n=2時(shí)  Sn=b1+b2=
1
4
=
5
4

6n
(n+1)(2n+1)
=
12
3×5
=
4
5
5
4
4
5
,
故n=2時(shí)不等式成立(12分)
當(dāng)n≥3時(shí),由bn=
1
n2
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

Sn=b1+b2+b3+…+bn(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)

=1-
1
n+1
=
n
n+1
,且由2n+1>6   得1>
6
2n+1

Sn
n
n+1
6n
(n+1)(2n+1)
(14分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意計(jì)算能力的培養(yǎng).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a,c為實(shí)數(shù),且c≠0.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)a=
1
2
,c=
1
2
,bn=n(1-an)(n∈N*)
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+3
3x
(x>0)
,數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f(
1
an-1
)(n∈N*,且n≥2)

(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(III)在數(shù)列{an}中是否存在這樣一些項(xiàng):an1,an2an3,…,ank,…(1=n1n2n3<…<nk<…,k∈N*),這些項(xiàng)能夠構(gòu)成以a1為首項(xiàng),q(0<q<5,q∈N*)為公比的等比數(shù)列{ank},k∈N*.若存在,寫出nk關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,n≥2時(shí),
an
an-1
=
2-3an
an-1+2

(1)求證:數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列;
(2)求{
3n
an
}
的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•佛山一模)數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
,an+1=
1
2-an

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,證明Sn<n-ln(
n+2
2
).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且an+1=
an+an+2
2
(n∈N*)

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an
+
an+1
(n∈N*)
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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