Question

已知拋物線x²=y，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)O作兩相互垂直的弦OM，ON，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，用n表示△OMN的面積，并求△OMN面積的最小值；
（Ⅱ）過(guò)拋物線上一點(diǎn)A（3，9）引圓x²+（y-2）²=1的兩條切線AB，AC，分別交拋物線于點(diǎn)B，C，連接BC，求直線BC的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由OM⊥ON，確定M，N的坐標(biāo)，表示出|OM|=，|ON|=，從而可得△OMN的面積，利用基本不等式可求△OMN面積的最小值；
（Ⅱ）設(shè)B（），C（），直線AB的方程為y-9=k₁（x-3），AC的方程為y-9=k₂（x-3），利用直線AB\AC與圓x²+（y-2）²=1相切，建立方程，從而可得以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的兩根，再聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，可得直線BC的斜率，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（），N（）．
由OM⊥ON得，∴x₁x₂=-1．
因?yàn)閤₁=m，所以．
所以|OM|=，|ON|=．
所以n==××==1．
所以，當(dāng)m=1時(shí)，△OMN面積取得最小值1．
（Ⅱ）設(shè)B（），C（），直線AB的方程為y-9=k₁（x-3），AC的方程為y-9=k₂（x-3），
因?yàn)橹本�AB，AC與圓x²+（y-2）²=1相切，
所以==1．
所以，．
所以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的兩根．
所以．
由方程組得x²-k₁x-9+3k₁=0．
所以x₃+3=k₁，同理可得：x₄+3=k₂．
所以直線BC的斜率為=x₄+x₃=k₁+k₂-6=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．