已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），若f（x）的最大值為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
-2-
3
＞a或0＞a＞-2+
3
-2-
3
＞a或0＞a＞-2+
3
．
分析：不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），得方程f（x）=-2x兩個(gè)根是1，3．由此可得出二次函數(shù)f（x）中的系數(shù)間的關(guān)系，又f（x）的最大值為正數(shù)，得二次項(xiàng)系數(shù)a＜0且可以得到關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即可．
解答：解：設(shè)f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由題意得方程f（x）=-2x兩個(gè)根是1，3，
即ax2+（b+2）x+c=0兩個(gè)根是1，3．
∴
-
b+2
a
=4
c
a
=3
⇒b=-4a-2，c=3a
又f（x）的最大值為正數(shù)，即
4ac-b2
4a
＞0
消去b，c得到關(guān)于a不等式a（a2+4a+1）＜0，因?yàn)閍＜0，
解得-2-
3
＞a或0＞a＞-2+
3
．
故答案為：-2-
3
＞a或0＞a＞-2+
3
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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