精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB中點,E是AC的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)求異面直線AB與DE所成的角;
(2)若M,N分別為棱AC,BC上的動點,求△DMN周長的平方的最小值;
(3)在三棱錐D-ABC的外接球面上,求A,B兩點間的球面距離和外接球體積.
分析:(1)取BC的中點F,連EF,DF,則AB與DE所成角即為EF與DE所成角,根據(jù)已知中AD=BD=2
2
,∠ADB=90°,可以判斷三角形DEF為正三角形,進而求出異面直線AB與DE所成的角;
(2)以C為頂點將側(cè)面展開,依題意即求DD1的長,根據(jù)∠ACD=∠BCD=45°,AC=BC=AB,結(jié)合余弦定理求出DD1的長,即可得到△DMN周長的平方的最小值;
(3)根據(jù)已知條件求出外接球的半徑,即可求出A,B兩點間的球面距離和外接球體積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)取BC的中點F,連EF,DF則AB∥EF,AB與DE所成角即為EF與DE所成角
∵AD=BD=2
2
,∠ADB=90°,∴AB=4∴EF=2
又∵DE=DF=2,∴異面直線AB與DE所成角為60°
(2)如圖,以C為頂點的側(cè)面展開圖,依題意即求DD1的長
∵∠ACD=∠BCD=45°,AC=BC=AB,∴∠ACB=60°
∴∠DCD1=150°,CD=CD1=2
2

D
D
2
1
=(2
2
)
2
+(2
2
)
2
-2
2
•2
2
cos150°=16+8
3

(3)∵2R=
3•(2
2
)
2
=2
6
,∴R=
6
,V=
4
3
πR3=8
6
π
AB=4,R=
6
,∴cosθ=
(
6
)
2
+(
6
)
2
-42
2•
6
6
=-
1
3

θ=π-arccos
1
3
,∴A,B兩點的球面距離為(π-arccos
1
3
)•
6
點評:本題考查的知識是球的體積,異面直線的夾角,其中(1)的關(guān)鍵是構(gòu)造異面直線的夾角的平面角,(2)的關(guān)鍵是展開側(cè)面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,(3)的關(guān)鍵是求出外接球的半徑.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為BC上一點,∠DAC=30°,BD=2,AB=2
3
,則AC的長為(  )
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D,過點D作⊙O的切線,交BC于點E.
(1)求證:點E是邊BC的中點;
(2)若EC=3,BD=2
6
,求⊙O的直徑AC的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,CE交AD于點P.
(1)若AE=CD,點M為BC的中點,求證:直線MP∥平面EAB
(2)若AE=2,CD=1,求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8.如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2
2
.DO⊥AB于O點,OA=OB,DO=2,曲線E過C點,動點P在E上運動,且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼,求曲線E的方程;
(2)過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間,設(shè)
DM
DN
=λ,試確定實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜邊AB的中點,將△BCD沿直線CD翻折,若在翻折過程中存在某個位置,使得CB⊥AD,則x的取值范圍是( 。
A、(0,
3
]
B、(
2
2
,2]
C、(
3
,2
3
]
D、(2,4]

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