【題目】已知f(x)=lnx+x2﹣bx.
(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)當(dāng)b=﹣1時,設(shè)g(x)=f(x)﹣2x2 , 求證函數(shù)g(x)只有一個零點.
【答案】
(1)解:∵f(x)在(0,+∞)上遞增,
∴f′(x)= +2x﹣b≥0,對x∈(0,+∞)恒成立,即b≤ +2x對x∈(0,+∞)恒成立,
∴只需b≤( +2x)min。▁>0),
∵x>0,
∴ +2x≥2 ,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取“=”,∴b≤2 ,
∴b的取值范圍為(﹣∞,2 ]
(2)證明:當(dāng)b=﹣1時,g(x)=f(x)﹣2x2=lnx﹣x2+x,其定義域是(0,+∞),
∴g′(x)= ﹣2x+1=﹣ ,
令g′(x)=0,∵x>0,∴x=1,
當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0;當(dāng)x>1時,g′(x)<0,
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x≠1時,g(x)<g(1),即g(x)<0,當(dāng)x=1時,g(x)=0.
∴函數(shù)g(x)只有一個零點
【解析】(1)其導(dǎo)函數(shù),利用f(x)在(0,+∞)上遞增,可得f′(x)≥0,對x∈(0,+∞)恒成立,分離參數(shù),即可求得b的取值范圍;(2)當(dāng)b=﹣1時,g(x)=f(x)﹣2x2=lnx﹣x2+x,其定義域是(0,+∞),求導(dǎo)函數(shù),確定合適的單調(diào)性,利用當(dāng)x≠1時,g(x)<g(1),即g(x)<0,當(dāng)x=1時,g(x)=0,即可得到結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值的相關(guān)知識,掌握極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2019·朝鮮中學(xué)]在如圖所示的程序框圖中,有這樣一個執(zhí)行框,其中的函數(shù)關(guān)系式為,程序框圖中的為函數(shù)的定義域.
(1)若輸入,請寫出輸出的所有的值;
(2)若輸出的所有都相等,試求輸入的初始值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1
(1)求f(9),f(27)的值
(2)解不等式f(x)+f(x﹣8)<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,函數(shù)的定義域為集合.
(I)求集合.
(II)當(dāng)時,若全集,求 及;
(III)若,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量(單位:千克)與銷售價格(單位:元/千克)滿足關(guān)系式,其中,為常數(shù).已知銷售價格為7元/千克時,每日可售出該商品11千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若該商品的成本為5元/千克,試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示:(其中M,N分別是AF,BC的中點).
(1)求證:MN∥平面CDEF;
(2)求多面體A﹣CDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線:上的點到其焦點的距離是.
(1)求的方程.
(2)過點作圓:的兩條切線,分別交于兩點,若直線的斜率是,求實數(shù)的值.
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