Question

設(shè)對于任意實數(shù)x，不等式|x-1|+|x-2|≥m恒成立．
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取最大值時，解關(guān)于x的不等式|x+1|-2x≤

m

3

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用絕對值的意義可得|x-1|+|x-2|取得最小值為1，再根據(jù)不等式|x-1|+|x-2|≥m恒成立，可得m的范圍．
（2）由（1）可得m=1，不等式等價于|x+1|≤

1

3

+2x，故有

1 3 +2x≥0 - 1 3 -2x≤x+1≤ 1 3 +2x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1、2對應(yīng)點的距離之和，
可得當x∈[1，2]時，|x-1|+|x-2|取得最小值為1；
可得：|x-1|+|x-2|≥1恒成立，故有m≤1．
（2）由（1）可得m的最大值為1，不等式即|x+1|-2x≤

1

3

，等價于|x+1|≤

1

3

+2x，
∴

1 3 +2x≥0 - 1 3 -2x≤x+1≤ 1 3 +2x

，即

2x≥- 1 3 3x≥- 4 3 ，且2x-x≥ 2 3

，即

x≥- 1 6 x≥- 4 9 ，且x≥ 2 3

．
解得：x≥

2

3

，即不等式的解集為{x|x≥

2

3

}．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，對于有絕對值的不等式，可以借助兩個工具，一是把他轉(zhuǎn)化成x軸上點的距離；二是運用絕對值的等式運算，屬于基礎(chǔ)題．