已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直線A1B上.
(1)求證:平面A1BC⊥平面ABB1A1;
(2)若,AB=BC=2,P為AC中點(diǎn),求三棱錐的體積。
(1)利用線線垂直證明線面垂直;(2)
解析試題分析:直三棱柱ABC-A1B1C1中,A A1⊥平面ABC,
∴A A1⊥BC,
∵AD⊥平面A1BC,
∴AD⊥BC,
∵A A1,AD為平面ABB1A1內(nèi)兩相交直線,
∴BC⊥平面ABB1A1,
又∵平面A1BC,
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1 7分
(2) 由等積變換得,
在直角三角形中,由射影定理()知,
∵,
∴三棱錐的高為 10分
又∵底面積 12分
∴= 14分
法二:連接,取中點(diǎn),連接,∵P為AC中點(diǎn),
,, 9分
由(1)AD⊥平面A1BC,∴⊥平面A1BC,
∴為三棱錐P- A1BC的高, 11分
由(1)BC⊥平面ABB1A1 , 12分
, 14分
考點(diǎn):本題考查了空間中的線面關(guān)系
點(diǎn)評:高考中?疾榭臻g中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及幾何體體積的計(jì)算,這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點(diǎn)。
(1)證明:∥平面
(2)求異面直線與所成的角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是邊長為的正方形E, F分別為PC,BD的中點(diǎn),側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.
(Ⅰ)求證:EF//平面PAD;
(Ⅱ)求三棱錐C—PBD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱錐P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD平面PAB
(1)求證:AB平面PCB;
(2)求異面直線AP與BC所成角的大。
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是矩形,側(cè)棱⊥底面,,是的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)證明:平面
(2)若為直線上任意一點(diǎn),求幾何體的體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
本題共有2個(gè)小題,第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分6分.
如圖,已知正四棱柱的底面邊長是,體積是,分別是棱、的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)表示);
(2)求過的平面與該正四棱柱所截得的多面體的體積.
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