Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，連接它的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積是4

2

，分別連接橢圓上一點(diǎn)（頂點(diǎn)除外）和橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，連得線段所在四條直線的斜率的乘積為

1

4

，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)所求的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上一點(diǎn)為P（x₀，y₀），由已知四直線的斜率乘積為

1

4

，得

y02

x02-a2

•

y02-b2

x02

=

1

4

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)所求的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上一點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為（a，0），（-a，0），（0，b），（0，-b），
由已知四直線的斜率乘積為

1

4

，得

y02

x02-a2

•

y02-b2

x02

=

1

4

，
∵b²x₀²+a²y₀²=a²b²，∴y₀²=

b2(a2-x02)

a2

，x₀²=

a2(b2-y02)

b2

，
代入得

b4

a4

=

1

4

，又由已知2ab=4

2

，及a＞0，b＞0，得a=2，b=

2

，
∴橢圓方程是

x2

4

+

y2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢C的方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．