Question

已知函數(shù)φ（x）=lnx．
（1）若曲線g（x）=φ（x）+

a

x

-1在點（2，g（2））處的切線與直線3x+y-1=0平行，求a的值；
（2）求證函數(shù)f（x）=φ（x）-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）設m，n∈R⁺，且m≠n，求證：

m-n

m+n

＜|

lnm-lnn

2

|．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出g（x）的導數(shù)g′（x），求出g′（2），根據(jù)條件得到g′（2）=-3，解出a的值；
（2）可先求出f（x）的導數(shù)f′（x），并化簡整理、因式分解，由條件x＞0，即可判斷導數(shù)的符號，從而得證；
（3）設m＞n＞0，應用分析法證明，要證原不等式成立，可以適當變形，只需證

m n -1

m n +1

＜

ln m n

2

，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），應用導數(shù)說明h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，從而h（x）＞h（1）=0，即可得證．

解答： 解：（1）g(x)=ϕ(x)+

a

x

-1=lnx+

a

x

-1（x＞0），g′(x)=

1

x

-

a

x2

（x＞0），
∵曲線g(x)=ϕ(x)+

a

x

-1在點（2，g（2））處的切線與直線3x+y-1=0平行，
∴g′(2)=

1

2

-

a

4

=-3，解得a=14；
（2）證明：f(x)=ϕ(x)-

2(x-1)

x+1

═lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
∴函數(shù)f(x)=ϕ(x)-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）不妨設m＞n＞0，則

m

n

＞1，
要證

m-n

m+n

＜|

lnm-lnn

2

|，
即證

m-n

m+n

＜

lnm-lnn

2

，
只需證

m n -1

m n +1

＜

ln m n

2

，即證ln

m

n

＞

2( m n -1)

m n +1

，
只需證ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
設h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），
由（2）得，h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∵x＞1，∴h（x）＞h（1）=0，
即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
即

m-n

m+n

＜

lnm-lnn

2

．
∴不等式

m-n

m+n

＜|

lnm-lnn

2

|成立．

點評：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用：求單調(diào)區(qū)間、證明單調(diào)性以及不等式，考查應用導數(shù)求切線方程，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力，是一道綜合題．