Question

如圖，已知橢圓C：x2+

y2

a2

=1(a＞1) 的離心率為e，點F為其下焦點，點O為坐標原點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=

a2-1

）與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足：

OP

•

OQ

=

a2(c2-m2)-1

2-c2

．
（Ⅰ）試用a表示m²；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若 e∈(

1

3

，

1

2

)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）直線l：y=mx-c代入橢圓方程，消去x，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積公式，利用

OP

•

OQ

=

a2(c2-m2)-1

2-c2

，即可用a表示m²；
（Ⅱ）由c=

a2-1

，m²=3-2a²，可得3（a²-c²）-2a²≥0，即可求e的最大值；
（Ⅲ）由e∈(

1

3

，

1

2

)，可得

1

9

＜

a2-1

a2

＜

1

4

，即

9

8

＜a2＜

4

3

，利用m²=3-2a²，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）直線l：y=mx-c代入橢圓方程，消去x，可得（a²+m²）x²-2mcx-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2mc

a2+m2

，x₁x₂=

-1

a2+m2

，
∴y₁y₂=（mx₁-c）（mx₂-c）=

a2(c2-m2)

a2+m2

，
∵

OP

•

OQ

=

a2(c2-m2)-1

2-c2

．
∴

-1

a2+m2

+

a2(c2-m2)

a2+m2

=

a2(c2-m2)-1

2-c2

，
∴a²+m²=2-c²=2-（a²-1），
∴m²=3-2a²；
（Ⅱ）∵c=

a2-1

，m²=3-2a²，
∴3（a²-c²）-2a²≥0，
∴a²≥3c²，
∴e²≤

1

3

，
∴e的最大值

3

3

；
（Ⅲ）∵e∈(

1

3

，

1

2

)，
∴e²∈（

1

9

，

1

4

），
∴

1

9

＜

a2-1

a2

＜

1

4

，
∴

9

8

＜a2＜

4

3

，
∵m²=3-2a²，
∴

1

3

＜m2＜

3

4

，
∴m的取值范圍為(-

3

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

3

2

)．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．