如圖，已知三棱錐的側(cè)棱與底面垂直，,, M、N分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且,

（1）證明：無(wú)論取何值，總有.
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）參考解析；（2）

解析試題分析：（1）通過(guò)建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量與向量.通過(guò)計(jì)算向量與向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論.
（2）當(dāng)時(shí)，要求平面與平面所成銳二面角的余弦值，因?yàn)檫@兩個(gè)平面的交線沒(méi)畫出來(lái)，所以用這兩個(gè)平面的法向量的夾角的大小來(lái)表示. 平面的法向量較易表示，平面的法向量要通過(guò)待定系數(shù)法求得.由于求銳二面角，所以求法向量的夾角的余弦值取正的即可.

試題解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A1（0，0，2），B1（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），

，
（1）∵，∴.
∴無(wú)論取何值， .          5分
（2）時(shí)，, .
而面 ，設(shè)平面的法向量為，
則 ,
設(shè)為平面與平面ABC所成銳二面角，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是         12分
考點(diǎn)：1.空間坐標(biāo)系的建立.2.向量證明線線垂直.3.通過(guò)法向量求二面角的大小.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=a,BC=a，以對(duì)角線AC為折線將直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置（B點(diǎn)與P點(diǎn)重合），P點(diǎn)在平面ACD上的射影恰好落在邊AD上的H處．

（1）求證：PA⊥CD；
（2）求直線PC與平面ACD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，斜四棱柱的底面是矩形，平面⊥平面，分別為的中點(diǎn).

求證：
（1）；（2）∥平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面是的中點(diǎn)，.

（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并予以證明；
（2）若四棱錐體積為  ，，求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為直角梯形,∥, ，平面,且，為的中點(diǎn)

（1） 證明：面面
（2） 求面與面夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，為正三角形，平面，為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若平面,平面平面,,且

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：平面平面。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，∥,，側(cè)面為等邊三角形

（1）證明：
（2）求AB與平面SBC所成角的正弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知三棱柱中，平面⊥平面ABC，BC⊥AC，D為AC的中點(diǎn)，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2。

（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求平面AA1B與平面A1BC的夾角的余弦值。

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