(本題滿分15分)

已知函數(shù)f (x)=x 2+ax ，且對任意的實數(shù)x都有f (1+x)=f (1－x) 成立.

（1）求實數(shù) a的值；

（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù). w.

解析：（1）由f (1+x)=f (1－x)得，

(1＋x)2＋a(1＋x)＝(1－x)2＋a(1－x)，                         

整理得：(a＋2)x＝0，                                             

由于對任意的x都成立，∴ a＝－2.                                 （7分）

（2）根據(jù)（1）可知 f ( x )=x 2－2x，下面證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).

設，則＝－  

＝（）－2（）

＝（）（－2）                            

∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，              

∴ ＞0，即，                        

故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).                        （8分）

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（Ⅲ）當,且時，證明:．

 

 

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