Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^ax+bx（a＜0）在點（0，f（0））處的切線方程為y=5x+1，且f（1）+f'（1）=12．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）＞x²+3在x∈[1，m]上恒成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}f'（0）=5\\ f（1）+f'（1）=12\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a+b=5\\ a{e^a}+b+b+{e^a}=12\end{array}\right.$，化簡得a，b，利用導(dǎo)數(shù)求極值．
（Ⅱ）f（x）＞x²+3在x∈[1，m]上恒成立，等價于e^-x-x²+6x-3＞0在x∈[1，m]上恒成立．設(shè)g（x）=e^-x-x²+6x-3．求出其導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^ax+bx，那么f'（x）=ae^ax+b，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（0）=5\\ f（1）+f'（1）=12\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a+b=5\\ a{e^a}+b+b+{e^a}=12\end{array}\right.$，化簡得（e^a-2）（a+1）=0
由a＜0得a=-1，b=6，∴f（x）=e^-x+6x…（3分）
即f'（x）=-e^-x+6=0，得x=-ln6，
∴f（x）在（-∞，-ln6）單調(diào)遞減，在（-ln6，+∞）單調(diào)遞增，
∴$f{（x）_{極小值}}=f（-ln6）={e^{ln6}}-6ln6=6-6ln6$，無極大值．…（5分）
（Ⅱ）f（x）＞x²+3在x∈[1，m]上恒成立，等價于e^-x-x²+6x-3＞0在x∈[1，m]上恒成立．
設(shè)g（x）=e^-x-x²+6x-3，則g'（x）=-e^-x-2x+6
設(shè)h（x）=g'（x）=-e^-x-2x+6，則h'（x）=e^-x-2，…（6分）
∵1≤x≤m，有h'（x）＜0，∴h（x）在區(qū)間[1，m]上是減函數(shù)，
又∵h（1）=4-e^-1＞0，h（2）=2-e^-2＞0，h（3）=-e^-3＜0，
∴存在x₀∈（2，3），使得h（x₀）=g'（x₀）=0，
當(dāng)1≤x＜x₀時，有g(shù)'（x）＞0，當(dāng)x＞x₀時，有g(shù)'（x）＜0．
∴y=g（x）在區(qū)間[1，x₀]上遞增，在區(qū)間（x₀，m）上遞減，
  又∵g（1）=e^-1+2＞0，g（2）=e^-2+5＞0，g（3）=e^-3+6＞0，
   g（4）=e^-4+5＞0，g（5）=e^-5+2＞0，g（6）=e^-6-3＜0．
∴當(dāng)1≤x≤5時，恒有g(shù)（x）＞0；當(dāng)x≥6時，恒有g(shù)（x）＜0；
∴正整數(shù)m的最大值為5．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．