Question

9．命題p：關(guān)于x的方程x²+ax+2=0無實(shí)根，命題q：函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增，若“p∧q”為假命題，“p∨q”真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求到當(dāng)命題p，q為真時(shí)對(duì)應(yīng)的集合，而由題意可知：p真q假或p假q真，分別求解不等式組的解集即可．

解答 解：∵方程x²+ax+2=0無實(shí)根，
∴△=a²-8＜0，∴-2$\sqrt{2}$＜a＜2$\sqrt{2}$，
∴命題p：-2$\sqrt{2}$＜a＜2$\sqrt{2}$．
∵函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴a＞1．
∴命題q：a＞1．∵p∧q為假，p∨q為真，∴p與q一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)，-2$\sqrt{2}$＜a≤1，
當(dāng)p假q真時(shí)，a≥2$\sqrt{2}$．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2$\sqrt{2}$，1]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和一元二次方程根的分布，屬中檔題．