Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ•sin²θ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ，代入極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式得答案；
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，化為關(guān)于t的一元二次方程，利用t的幾何意義求|AB|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ•sin²θ=2cosθ，得 
（ρsinθ）²=2ρcosθ，即y²=2x．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

( 2cosα sin2α )2+ 4 sin2α

=

2

sin2α

，
當(dāng)α=

π

2

時(shí)，|AB|的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化普通方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．