Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n．?dāng)?shù)列{b_n}中，b₁=1，（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在常數(shù)t使數(shù)列{b_n+t}是等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：①b_n+1＞2b_n；②．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；n=1時(shí)，a₁=S₁，進(jìn)而可得答案．
（2）根據(jù)（1）中求得的{a_n}的通項(xiàng)公式，代入后等號(hào)兩邊同時(shí)加1，整理可得b_n+1=2（b_n-1+1），同時(shí)判斷n=1時(shí)，也成立，進(jìn)而可知{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可判定t的值和數(shù)列{b_n+1}的通項(xiàng)公式，最后可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）把（1）中的b_n，代入b_n+1-2b_n整理后可知b_n+1-2b_n=1＞0，進(jìn)而可判定b_n+1＞2b_n；設(shè)，根據(jù)b_n+1＞2b_n則可判定S＜，整理即可使原式得證．
解答：解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=3，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1時(shí)也適合此式，故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n+1；
（2）依題意，n≥2時(shí)，，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
即存在常數(shù)t=2使數(shù)列{b_n+t}是等比數(shù)列b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即b_n=2ⁿ-1．
（3）①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0所以b_n+1＞2b_n對(duì)一切自然數(shù)n都成立．
②由b_n+1＞2b_n得，設(shè)，
則S=，所以．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．屬基礎(chǔ)題．