Question

8．設(shè)a＞1，若關(guān)于x的方程a^x=x無(wú)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{e^{\frac{1}{e}}}，+∞）$．（用區(qū)間表示）

Answer 1

分析 先將關(guān)于x的方程a^x=x，再畫出a＞1時(shí)函數(shù)y=a^x，y=a的圖象，根據(jù)圖象求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出最小值大于0，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：據(jù)題意，關(guān)于x的方程a^x=x無(wú)實(shí)根．
函數(shù)y=a^x，的圖象與直線y=x沒有的交點(diǎn)．
a＞1時(shí)：如圖：

方程a^x=x，即a^x-x=0，令y=a^x-x
函數(shù)y′=a^xlna-1，函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=$lo{g}_{a}ln{a}^{-1}$，并且是最小值點(diǎn)，必須${a}^{lo{g}_{a}ln{a}^{-1}}-lo{g}_{a}ln{a}^{-1}＞0$，可得：$ln{a}^{-1}＞\frac{lnln{a}^{-1}}{lna}$，即1＞lnlna^-1，任意x使得lna^-1＜e，a^-1＜e^e，∴a＞${e}^{\frac{1}{e}}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）
故答案為：$（{e^{\frac{1}{e}}}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及極值的求法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．