Question

（2010•青浦區(qū)二模）[理科]定義：如果數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列{a_n}，如果函數(shù)y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N^*）．
（1）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；
（2）已知數(shù)列{c_n}的首項為2010，S_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數(shù)列；
（3）根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義，對函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數(shù)列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由條件得{a_n}是三角形數(shù)列，再利用f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，得到k_n+k_n+1＞k_n+2，解得k的取值范圍；
（2）先利用條件求出數(shù)列{c_n}的通項公式，再證明其滿足“三角形”數(shù)列的定義即可；
（3）根據(jù)函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是數(shù)列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函數(shù)”，可以得到①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形數(shù)列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1，②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi)，即1+2d≤A，③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形數(shù)列；結(jié)論為在利用h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是單調(diào)遞減函數(shù)，就可求出對應(yīng)d的范圍．

解答：解：（1）顯然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2對任意正整數(shù)都成立，即{a_n}是三角形數(shù)列．（2分）
因為k＞1，顯然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2），
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得k_n+k_n+1＞k_n+2，解得k＜

1+ 5

2

．
所以當k∈（1，

1+ 5

2

）時，f（x）=k^x是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”．（5分）
（2）由4S_n+1-3S_n=8040得4S_n-3S_n-1=8040，兩式相減得4c_n+1-3c_n=0
所以，c_n=2010 (

3

4

)n-1，經(jīng)檢驗，此通項公式滿足4S_n+1-3S_n=8040（7分）
顯然c_n＞c_n+1＞c_n+2，因為c_n+1+c_n+2=2010 (

3

4

)n+2010 (

3

4

)n+1=•2010 (

3

4

)n-1＞c_n，
所以{c_n}是“三角形”數(shù)列．（10分）
（3）探究過程：函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是數(shù)列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函數(shù)”，必須滿足三個條件：
①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形數(shù)列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1．
②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi)，即1+2d≤A．
③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形數(shù)列．
由于h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是單調(diào)遞減函數(shù)，所以h（1+d）+h（1+2d）＞h（1），解得0＜d＜

5

5

．

點評：本題的考點是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，考查在新定義下數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合．關(guān)于新定義的題型，在作題過程中一定要理解定義，并會用定義來解題．