Question

設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．
（1）證明：對(duì)任意a∈R，y=f（x）的圖象恒過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（3）若對(duì)任意a∈（0，m]時(shí)，y=f（x）恒為定義域上的增函數(shù)，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令lnx=0得到x=1=f（x）得到函數(shù)過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)觀察發(fā)現(xiàn)x=1時(shí)g（x）=0且為唯一根，根據(jù)x的范圍討論函數(shù)的增減性得到x=1是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，求出f（1）即為最小值；（3）y=f（x）恒為定義域上的增函數(shù)即要證f^/（x）大于零，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）=x²-alnx+a的最小值都比0大即可．
解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的圖象過定點(diǎn)（1，1）；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，，
令g（x）=x²+lnx-1，經(jīng)觀察得g（x）=0有根x=1，下證明g（x）=0無(wú)其它根．，
當(dāng)x＞0時(shí)，g^/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
所以x=1是f（x）的唯一極小值點(diǎn)．極小值是．
（3），令h（x）=x²-alnx+a
由題設(shè)，對(duì)任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又
當(dāng)時(shí)，h^/（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，h^/（x）＞0，h（x）是增函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，h（x）有極小值，也是最小值，
又由h（x）≥0得，得a≤2e³，即m的最大值為2e³．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及研究函數(shù)極值的能力，以及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的能力．