【題目】定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意的x、y∈R,滿(mǎn)足條件:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)證明:函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù);
(3)解關(guān)于t的不等式f(2t2﹣t)<1.

【答案】
(1)解:根據(jù)題意,在f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1中,

令x=y=0可得:f(0)=f(0)+f(0)﹣1,

解可得:f(0)=1


(2)證明:設(shè)x1>x2,則x1=x2+(x1﹣x2),且x1﹣x2>0,

則有f(x1)=f[(x1﹣x2)+x2]=f(x2)+f(x1﹣x2)﹣1,

即f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1,

又由x1﹣x2>0,則有f(x1﹣x2)>1,

故有f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1>0,

即函數(shù)f(x)為增函數(shù)


(3)解:根據(jù)題意,f(2t2﹣t)<1,

又由f(0)=1且函數(shù)f(x)為增函數(shù),

則有2t2﹣t<0,

解可得0<t<


【解析】(1)用賦值法分析:在f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1中,令x=y=0可得:f(0)=f(0)+f(0)﹣1,解可得f(0)的值,即可得答案;(2)用定義法證明:設(shè)x1>x2,則x1=x2+(x1﹣x2),且(x1﹣x2)>0,結(jié)合題意可得f(x1)=f[(x1﹣x2)+x2]=f(x2)+f(x1﹣x2)﹣1,作差可得f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1,分析可得f(x1)﹣f(x2)>0,由增函數(shù)的定義即可得證明;(3)根據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)的奇偶性與f(0)=1可得2t2﹣t<0,解可得t的取值范圍,即可得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某中學(xué)從某次考試成績(jī)中抽取若干名學(xué)生的分?jǐn)?shù),并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若用分層抽樣的方法從樣本中抽取分?jǐn)?shù)在[80,100]范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)16個(gè),則其中分?jǐn)?shù)在[90,100]范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)有 (  )

A. 5個(gè) B. 6個(gè)

C. 8個(gè) D. 10個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲乙兩地相距海里,某貨輪勻速行駛從甲地運(yùn)輸貨物到乙地,運(yùn)輸成本包括燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用.已知該貨輪每小時(shí)的燃料費(fèi)與其速度的平方成正比,比例系數(shù)為,其他費(fèi)用為每小時(shí)元,且該貨輪的最大航行速度為海里/小時(shí).

)請(qǐng)將該貨輪從甲地到乙地的運(yùn)輸成本表示為航行速度(海里/小時(shí))的函數(shù).

)要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少,該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,且0<x1<x2 , 給出下列命題: ① <1
②x2f(x1)<x1f(x2
③當(dāng)lnx>﹣1時(shí),x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1
④x1+f(x1)<x2+f(x2
其中正確的命題序號(hào)是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),若對(duì)于任意x∈[2,4],不等式f(x)+t≤2恒成立,則t的取值范圍為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(
A.y=x3+x
B.y=﹣
C.y=sinx
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意x1 , x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)≤f(x2),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù),且滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:①f(0)=0;② ;③f(1﹣x)=1﹣f(x).則 =

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某批產(chǎn)品共有1 564,產(chǎn)品按出廠順序編號(hào),號(hào)碼從11 564,檢測(cè)員要從中抽取15件產(chǎn)品作檢測(cè),請(qǐng)給出一個(gè)系統(tǒng)抽樣方案.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) . 

(1)若函數(shù)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)是否存在整數(shù) ,使得的解集恰好是,若存在,求出 的值;若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案