Question

4．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若該市有110萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，請說明理由；
（Ⅲ）若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值（精確到0.01），并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識，各組頻率和為1，列出方程求出a的值；
（Ⅱ）由圖計(jì)算不低于3噸的頻率和頻數(shù)即可；
（Ⅲ）由圖計(jì)算月均用水量小于2.5噸的頻率和月均用水量小于3噸的頻率，
假設(shè)月均用水量平均分布，由此求出x的值．

解答 解：（Ⅰ）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識，各組頻率和為1，
即0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04）=1，
解得a=0.4；…（3分）
（Ⅱ）由圖知，不低于3噸的人數(shù)所占比例為
0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
∴全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為
110×0.12=13.2（萬）；…（7分）
（Ⅲ）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占比例為
0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，…（9分）
即73%的居民月均用水量小于2.5噸；
同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故2.5＜x＜3；
假設(shè)月均用水量平均分布，則
$x=2.5+0.5×\frac{（0.8-0.73）÷0.5}{0.3}≈2.73$（噸）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．