Question

設(shè)a∈R，x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=-x²-ax+b有最小值-1，最大值1，求使函數(shù)取得最小值和最大值時(shí)相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先把二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)不定對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系分五種情況進(jìn)行討論①當(dāng)-

a

2

=0時(shí)②當(dāng)0＜-

a

2

＜1時(shí)③當(dāng)-1＜-

a

2

＜0時(shí)④當(dāng)-

a

2

≥1時(shí)⑤當(dāng)-

a

2

≤-1時(shí)，最后確定結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)y=-x²-ax+b=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b
則函數(shù)為開口方向線下，對(duì)稱軸為x=-

a

2

的拋物線
當(dāng)①-

a

2

=0時(shí)，即a=0
y_max=b=1 y_min=-1+a+b=-1
解得a=-1與a=0矛盾舍去
②當(dāng)0＜-

a

2

＜1時(shí)，即0＞a＞-2時(shí)，ymax=

a2

4

+b=1 y_min=-1+a+b=-1
解得：a=2±2

2

由于0＞a＞-2
所以a=2-2

2

③當(dāng)-1＜-

a

2

＜0時(shí)，即0＜a＜2
ymax=

a2

4

+b  y_min=-1-a+b=-1
解得：a=-2±2

2

由于0＜a＜2
所以a=2

2

-2
④當(dāng)-

a

2

≥1時(shí)，即a≤-2
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
y_max=-1-a+b=1  y_min=-1+a+b=1
解得：a=-1與a≤-2矛盾故舍去
⑤當(dāng)-

a

2

≤-1時(shí)，即a≥2
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
y_max=-1+a+b=1   y_min=-1-a+b=1
解得：a=1與a≥2矛盾故舍去
綜上所述：a=2-2

2

或a=2

2

-2
故答案為：a=2-2

2

或a=2

2

-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二次函數(shù)頂點(diǎn)式與一般式的互化，不定對(duì)稱軸和定區(qū)間的關(guān)系，及相關(guān)的分類討論問題和運(yùn)算問題