Question

如圖，已知拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²(r＞0)相交于A、B、C、D四個點(diǎn)．
(Ⅰ)求r的取值范圍；
(Ⅱ)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(Ⅰ)將y²=x代入（x-4）²+y²=r²，
并化簡得x²-7x+16-r²=0， ①
E與M有四個交點(diǎn)的充要條件是方程①有兩個不等的正根x₁、x₂，
由此得，解得，
又r＞0，所以，r的取值范圍是。
(Ⅱ)不妨設(shè)E與M的四個交點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
則直線AC、BD的方程分別為，
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），
設(shè)t=，由及(Ⅰ)知，
由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積，
則，
將代入上式，并令，
得f(t)=(7+2t)²(7-2t)=，
求導(dǎo)數(shù)，f′(t)=-24t²-56t+98=-2(2t+7)(6t-7)，
令f′(t)=0，解得（舍去），
當(dāng)時，f′(t)＞0；時，f′(t)=0；時，f′(t)＜0，
故當(dāng)且僅當(dāng)時，f(t)有最大值，
即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。