Question

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF．

Answer 1

【答案】分析：（理科）（I）由題在△BAD中，通過(guò)計(jì)算得到AD⊥BD，再利用條件線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而得到要證的線面垂直；
（II） 由題意及圖形特點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關(guān)系求出二面角的大�。�
（文科）（I）由題意及平面ABCD⊥平面ABEF且CB⊥AB，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，在利用圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)得到線線垂直，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理得出要證明的結(jié)論；
（II）由題意及條件借助線線平行得到線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)定理的得到所證．
解答：（理科）解：（Ⅰ）證明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=∴AB²=AD²+BD²．
∴AD⊥BD
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG，

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則有A（1，0，0），B（0，，0），G（0，0，1），E（0，）
設(shè)平面AEFG法向量為=（x，y，z）
則，
取，
平面ABCD的一個(gè)法向量，
設(shè)面ABFG與面ABCD所成銳二面角為θ，
則．

（文科）解：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
（Ⅱ）設(shè)DF的中點(diǎn)為N，則MN，又AO，則MNAO，MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF．
點(diǎn)評(píng)：（理科）此題重點(diǎn)考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理等知識(shí)，還考查了利用空間向量的知識(shí)求解二面角的大小的知識(shí)．
（文科）此題重點(diǎn)考查了面賣(mài)弄垂直的判定定理及線面垂直的判定定理，還考查了線面平行的判定定理及平行直線間的平行具有傳遞性．