已知f（x）=lnx，g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
(m＜0)，直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）若ln（x+1）＜x+c對任意x都成立，求實數(shù)c的取值范圍．
（Ⅰ）∵f′(x)=
1
x
，∴f'（1）=1．
∴直線l的斜率為1，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點坐標為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．（2分）
又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，
∴方程組
y=x-1
y=
1
2
x2+mx+
7
2
有一解．
由上述方程消去y，并整理得x2+2（m-1）x+9=0①
依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=[2（m-1）]2-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(x)=
1
2
x2-2x+
7
2
，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)=
1
x+1
-1=
-x
x+1
．（7分）
∴當x∈（-1，0）時，h'（x）＞0，當x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0．
∴當x=0時，h（x）取最大值，其最大值為2，
（Ⅲ）．ln（x+1）-x＜c恒成立，所以c≥（ln（x+1）-x）max，
由（Ⅱ）可知ln（x+1）-x的最大值為0，
所以c≥0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
x
，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當1＜x＜e2時，恒有x＜
2+f(x)
2-f(x)
；
（3）把h（x）對應的曲線C1向上平移6個單位后得到曲線C2，求C2與g（x）對應曲線C3的交點的個數(shù)，并說明道理．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g(x)=x+
a
x
（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當n∈N*，n≥2時，證明：
ln2
3
•
ln3
4
•…•
lnn
n+1
＜
1
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx-
a
x
．
（Ⅰ）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=x2-x，
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當x∈[-2，0]時，g（x）≤2c2-c-x3恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx+cosx，則f（x）在x=
π2
處的導數(shù)值為
 
．

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