Question

直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C₁：

x=3+cost y=4+sint

（t為參數(shù)）和曲線C₂：ρ=1上，當|AB|長取得最小值時，求線段AB的垂直平分線的極坐標方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：由題意，曲線C₁和曲線C₂都表示半徑為1的圓，由平面幾何知識，可得|AB|的最小值為兩圓的圓心距再減去兩個圓的半徑；當|AB|長取得最小值時，線段AB的垂直平分線是過C₁C₂的中點（1.5，2），與C₁C₂垂直的直線，斜率為-

3

4

，可得結論．

解答： 解：曲線C₁：

x=3+cost y=4+sint

（t為參數(shù)）化成普通方程：（x-3）²+（y-4）²=1
∴曲線C₁表示以點M（3，4）為圓心，半徑為1的圓；
∵曲線C₂：ρ=1表示以原點為圓心，半徑為1的圓
∴曲線C₁上點A和曲線C₂上點B的最短距離為兩個圓的圓心距減去兩圓的半徑，
即|AB|_min=3；
當|AB|長取得最小值時，線段AB的垂直平分線是過C₁C₂的中點（1.5，2），與C₁C₂垂直的直線，斜率為-

3

4

，
∴方程為y-2=-

3

4

（x-1.5），直線極坐標方程為：6ρcosθ+8ρsinθ+25=0

點評：本題以參數(shù)方程和極坐標方程為例，求分別在兩個圓上的兩個動點間距離的最小值，著重考查了圓與圓的位置關系的知識，屬于中檔題．