Question

對(duì)于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式化為（m-2）x-2m+1＜0，討論m=2與m≠2的情況，特別是第二種情況，構(gòu)造一次函數(shù)f（x）=（m-2）x-2m+1，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可以將不等式（x-2）m＜2x-1恒成立等價(jià)于

-2m+1≤0 m-5≤0

，求解即可．

解答： 解：不等式（x-2）m＜2x-1可化為，
（m-2）x-2m+1＜0，
當(dāng)m=2時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)m≠2時(shí)，
令f（x）=（m-2）x-2m+1，
則f（x）可看做關(guān)于x的一次函數(shù)，
對(duì)于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立等價(jià)于：

f(0)≤0 f(3)≤0

，
即

-2m+1≤0 m-5≤0

，
解得，

1

2

≤m≤5，且m≠2．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)與不等式的關(guān)系，以及利用函數(shù)性質(zhì)解決不等式恒成立的技巧，屬于中檔題．