Question

【題目】給定數(shù)列，若滿足且，對于任意的n，，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．

Ⅰ已知數(shù)列，的通項公式分別為，，試判斷，是不是“指數(shù)型數(shù)列”；

Ⅱ若數(shù)列滿足：，，判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；

Ⅲ若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明：數(shù)列中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不是指數(shù)型數(shù)列，是指數(shù)型數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ利用指數(shù)型數(shù)列的定義，判斷即可；Ⅱ利用，，說明數(shù)列是等比數(shù)列，然后證明數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”；Ⅲ利用反證法，結(jié)合n為偶數(shù)以及奇數(shù)進行證明即可．

Ⅰ解：對于數(shù)列，，

所以不是指數(shù)型數(shù)列．

對于數(shù)列，對任意n，，因為，

所以是指數(shù)型數(shù)列．

Ⅱ證明：由題意，是“指數(shù)型數(shù)列”，

，，

所以數(shù)列是等比數(shù)列，，

，數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”．

Ⅲ證明：因為數(shù)列是指數(shù)型數(shù)列，故對于任意的n，，

有，，

假設(shè)數(shù)列中存在三項，，構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，

則由，得，

所以，

當a為偶數(shù)時，是偶數(shù)，而是偶數(shù)，是奇數(shù)，

故不能成立；

當a為奇數(shù)時，是偶數(shù)，而是奇數(shù)，是偶數(shù)，

故也不能成立．

所以，對任意，不能成立，

即數(shù)列的任意三項都不成構(gòu)成等差數(shù)列．