Question

如圖，直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分別為A₁B₁，A₁A的中點(diǎn)．
（1）求的值；    
（2）求證：BN⊥平面C₁MN．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系C-xyz，求得A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），從而可求得=（1，-1，2），=（0，1，2），•=3，||=，||=，于是可求得cos＜，＞的值．
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得•=0，•=0，C₁M∩C₁N=C₁，由線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論．
解答：解：以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系C-xyz，
（1）依題意，A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），
∴=（1，-1，2），=（0，1，2），
∴•=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又||=，||=，
∴cos＜，＞==…6分
證明：（2）A₁（1，0，2），C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（，，2），∴=（，，2），=（1，0，-1），=（1，-1，1），
∴•=×1+×（-1）+1×0=0，同理可求•=0，
∴⊥，⊥，C₁M∩C₁N=C₁，
∴BN⊥平面C₁MN…12分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查異面直線及其所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系求得所需各點(diǎn)與向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，空間轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．