(1)已知
a
=(2x-y+1,x+y-2),
b
=(2,-2),
①當(dāng)x、y為何值時(shí),a與b共線?
②是否存在實(shí)數(shù)x、y,使得a⊥b,且|
a
|=|
b
|?若存在,求出xy的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(2)設(shè)
n
m
是兩個(gè)單位向量,其夾角是60°,試求向量
a
=2
m
+
n
和b=-3
m
+2
n
的夾角.
分析:(1)①根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示式,由
a
∥與
b
可得-2(2x-y+1)=2(x+y-2),解之得到實(shí)數(shù)x=
1
3
,得到使
a
、
b
共線的x、y的值.
a
b
垂直,且|
a
|=|
b
|,可得
a
=(-2,-2)或
a
=(2,2),由此建立關(guān)于x、y的方程組,解出x、y的值,從而得到存在實(shí)數(shù)x、y,使得
a
b
且|
a
|=|
b
|,此時(shí)xy=-1或xy=3.
(2)根據(jù)向量數(shù)量積公式算出
m
n
=
1
2
,再由向量數(shù)量運(yùn)算性質(zhì)算出|
a
|=|
b
|=
7
a
b
=-
7
2
.最后利用向量的夾角公式,可得
a
b
的夾角為120°.
解答:解:(1)①∵
a
=(2x-y+1,x+y-2),
b
=(2,-2),
∴若
a
b
共線,則-2(2x-y+1)=2(x+y-2),解之得x=
1
3

因此,當(dāng)x=
1
3
、y為任意實(shí)數(shù)時(shí),
a
b
共線;
②若
a
b
垂直,且|
a
|=|
b
|,則
b
=(2,-2),
a
=(2x-y+1,x+y-2)=(-2,-2)或
a
=(2x-y+1,x+y-2)=(2,2)
2x-y+1=-2
x+y-2=-2
2x-y+1=2
x+y-2=2
,解之得
x=-1
y=1
x=1
y=3

∴xy=-1或xy=3.
因此存在實(shí)數(shù)x、y,使得
a
b
且|
a
|=|
b
|,此時(shí)xy=-1或xy=3.
(2)∵
n
m
是兩個(gè)單位向量,其夾角是60°,∴
m
n
=|
m
|•|
n
|cos60°=
1
2

∴|
a
|2=|2
m
+
n
|2=(2
m
+
n
)•(2
m
+
n
)=4
m
2+4
m
n
+
n
2=7,同理可得|
b
|2=|-3
m
+2
n
|2=7,
因此,|
a
|=|
b
|=
7

a
b
=(2
m
+
n
)•(-3
m
+2
n
)=-
7
2

設(shè)
a
b
的夾角為θ,可得cosθ=
a
b
|
a
|•|
b
|
=-
1
2

∵θ∈[0°,180°],∴θ=120°.
點(diǎn)評(píng):本題給出向量含有字母的坐標(biāo),探索兩個(gè)向量能否共線或者平行,并且求向量的夾角.著重考查了平面向量的數(shù)量積計(jì)算公式和平行、垂直的條件等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知
a
=(2x-y+1,x+y-2),
b
=(2,-2),①當(dāng)x、y為何值時(shí),
a
b
共線?②是否存在實(shí)數(shù)x、y,使得
a
b
,且|
a
|=|
b
|?若存在,求出xy的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(2)設(shè)
i
j
是兩個(gè)單位向量,其夾角是90°,
a
=
i
+2
j
,
b
=-3
i
+
j
,若(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)
,求實(shí)數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知a,b,x,y是正實(shí)數(shù),求證:
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
,當(dāng)且僅當(dāng)
a
x
=
b
y
時(shí)等號(hào)成立;
(2)求函數(shù)f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值,并指出取最小值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選做題 
(1)已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所對(duì)應(yīng)的變換TM把直線L:2x-y=3變換為自身,求實(shí)數(shù)a,b,并求M的逆矩陣.
(2)已知直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn),Ox方向?yàn)闃O軸,選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(θ-
π
4
).
(Ⅰ)求直線l的傾斜角;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(1)已知
a
=(2x-y+1,x+y-2),
b
=(2,-2),①當(dāng)x、y為何值時(shí),
a
b
共線?②是否存在實(shí)數(shù)x、y,使得
a
b
,且|
a
|=|
b
|?若存在,求出xy的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(2)設(shè)
i
j
是兩個(gè)單位向量,其夾角是90°,
a
=
i
+2
j
b
=-3
i
+
j
,若(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)
,求實(shí)數(shù)k的值.

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