Question

在一個有獎問答的電視節(jié)目中，參賽選手順序回答A₁、A₂、A₃三個問題，答對各個問題所獲獎金（單位：元）對應如下表：

A1	A2	A3
1000	2000	3000

當一個問題回答正確后，選手可選擇繼續(xù)回答下一個問題，也可選擇放棄．若選擇放棄，選手將獲得答對問題的累計獎金，答題結束；若有任何一個問題回答錯誤，則全部獎金歸零，答題結束．設一名選手能正確回答A₁、A₂、A₃的概率分別為

4

5

、

2

3

、

1

4

，正確回答一個問題后，選擇繼續(xù)回答下一個問題的概率均為

1

2

，且各個問題回答正確與否互不影響．
（Ⅰ）按照答題規(guī)則，求該選手A₁回答正確但所得獎金為零的概率；
（Ⅱ）設該選手所獲獎金總數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）記“A₁回答正確A₂回答錯誤”為事件A；“A₁、A₂回答正確A₃回答錯誤”為事件B；“A₁回答正確但所得獎金為零”為事件C，事件A、B互斥，利用互斥事件、對立事件的概率公式求出選手A₁回答正確但所得獎金為零的概率；
（II）由于該選手所獲獎金總數(shù)為ξ，由題意則X的可能取值是0，1000，3000，6000，利用隨機變量的定義及分布列定義即可求出期望值．

解答：解：（Ⅰ） 記“A₁回答正確A₂回答錯誤”為事件A；“A₁、A₂回答正確A₃回答錯誤”為事件B；“A₁回答正確但所得獎金為零”為事件C，事件A、B互斥，
則P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）
=

4

5

×

1

2

×

1- 2 3

+

4

5

×

1

2

×

2

3

×

1

2

×

1- 1 4

=

2

15

+

1

10

=

7

30

．…（6分）
（Ⅱ）ξ的取值分別為0、1000、3000、6000，
則P

ξ=1

000)=

4

5

×

1- 1 2

=

2

5

，P

ξ=3

000)=

4

5

×

1

2

×

2

3

×

1- 1 2

=

2

15

，P

ξ=6

000)=

4

5

×

1

2

×

2

3

×

1

2

×

1

4

=

1

30

，P

ξ=0

=1-

2 5 + 2 15 + 1 30

=

13

30

，
故ξ的分布列為：

ξ	0	1000	3000	6000
P	13 30	2 5	2 15	1 30

∴Eξ=0×

13

30

+1000×

2

5

+3000×

2

15

+6000×

1

30

=0+400+400+200=1000（元）．  …（12分）

點評：此題重在考查學生對于題意的正確理解，還考查了隨機變量的定義及隨機變量的分布列，另外還考查了期望與古典概率及獨立事件的概率公式．