Question

1．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，則不等式$f（x）＞\frac{2}{e^x}+1$（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（-∞，0）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∵e^xf（x）＞e^x+2，
∴g（x）＞2，
又∵g（0）═e⁰f（0）-e⁰=3-1=2，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0
故答案為：（-∞，0）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．