Question

【題目】已知橢圓： 的長軸長為，且橢圓與圓： 的公共弦長為.

（1）求橢圓的方程.

（2）經(jīng)過原點(diǎn)作直線（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于， 兩點(diǎn)， 軸于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，求證： ， ， 三點(diǎn)共線..

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ， ，求出 、 、，即可得結(jié)果；（2）設(shè)， ，則， .

因?yàn)辄c(diǎn)， 都在橢圓上，所以，利用“點(diǎn)差法”證明 ，即可得結(jié)論.

試題解析：（1）由題意得，則.

由橢圓與圓： 的公共弦長為，

其長度等于圓的直徑，

可得橢圓經(jīng)過點(diǎn)，

所以，解得.

所以橢圓的方程為.

（2）證明：設(shè)， ，則， .

因?yàn)辄c(diǎn)， 都在橢圓上，所以

所以 ，

即.

又 ，

所以，

即，

所以

所以

又 ，

所以，

所以， ， 三點(diǎn)共線.