Question

12．已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中點，則截面AEFD₁與底面ABCD所成二面角的正弦值是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出截面AEFD₁與底面ABCD所成二面角的正弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（1，0，0），E（$\frac{1}{2}，1，0$），F(xiàn)（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{1}{2}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），
設平面AEFD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-x+y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
截面AEFD₁與底面ABCD所成二面角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴截面AEFD₁與底面ABCD所成二面角的正弦值是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點評 本題考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．