【題目】已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:的一個(gè)交點(diǎn)為,且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(II)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
【答案】(I) y2=8x;(II)24
【解析】
(I)確定拋物線C與直線l1:y=﹣x的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線方程,即可求拋物線C方程;
(II)設(shè)l2的方程為x=y+m,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合OA⊥OB,求出m的值,從而可求△FAB的面積.
解:(I)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-8),
∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴拋物線方程為y2=8x.
(II)直線l2與l1垂直,故可設(shè)直線l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.
由得y2-8y-8m=0,
Δ=64+32m>0,∴m>-2.
y1+y2=8,y1y2=-8m,
∴x1x2==m2.
由題意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,
∴m=8或m=0(舍),
∴直線l2:x=y+8,M(8,0).
故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|
=3=24.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班主任為了對(duì)本班學(xué)生的月考成績進(jìn)行分析,從全班40名同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為6的樣本進(jìn)行分析.隨機(jī)抽取6位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如表:
學(xué)生編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x | 60 | 70 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分?jǐn)?shù)y | 72 | 80 | 88 | 90 | 85 | 95 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間是否具有線性相關(guān)性?
(2)如果具有線性相關(guān)性,求出線性回歸方程(系數(shù)精確到0.1);如果不具有線性相關(guān)性,請(qǐng)說明理由.
(3)如果班里的某位同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0,請(qǐng)預(yù)測這位同學(xué)的物理成績。
(附)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意都有,當(dāng)時(shí),,則的值為( )
A. B. 1 C. D. -2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其“無故障使用時(shí)間 (單位:小時(shí))”衡量,無故障使用時(shí)間越大表明產(chǎn)品質(zhì)量越好,且無故障使用時(shí)間大于3小時(shí)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件,并記錄了每件產(chǎn)品的無故障使用時(shí)間,得到下面試驗(yàn)結(jié)果:
無故障使用時(shí)間 (小時(shí)) | |||
頻數(shù) | 20 | 40 | 40 |
以試驗(yàn)結(jié)果中無故障使用時(shí)間落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的無故障使用時(shí)間落入相應(yīng)組的概率.
(1)從該企業(yè)任取兩件這種產(chǎn)品,求至少有一件是優(yōu)質(zhì)品的概率;
(2)若該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品每件銷售利潤 (單位:元)與其無故障使用時(shí)間的關(guān)系式為
從該企業(yè)任取兩件這種產(chǎn)品,其利潤記為 (單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為等腰直角三角形,AB=AC=1,BB1=2,∠ABB1=60°.
(I) 證明:AB⊥平面AB1C;
(II) 若B1C=2,求AC1與平面BCB1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程,并指明曲線C的形狀;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|OA|<|OB|,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意的,關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國第一高摩天輪“南昌之星摩天輪”高度為,其中心距地面,半徑為,若某人從最低點(diǎn)處登上摩天輪,摩天輪勻速旋轉(zhuǎn),那么此人與地面的距離將隨時(shí)間變化,后達(dá)到最高點(diǎn),從登上摩天輪時(shí)開始計(jì)時(shí).
(1)求出人與地面距離與時(shí)間的函數(shù)解析式;
(2)從登上摩天輪到旋轉(zhuǎn)一周過程中,有多長時(shí)間人與地面距離大于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行六面體中,以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為.
(1)求的長;
(2)求異面直線與夾角的余弦值.
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