Question

1．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的上、下頂點分別為A₁、A₂，點P在C上且直線PA₂斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么直線PA₁斜率的取值范圍是[$\frac{3}{8}，\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由題意求A₁、A₂的坐標(biāo)，設(shè)出點P的坐標(biāo)，代入求斜率，進(jìn)而求PA₁斜率的取值范圍

解答 解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，
上、下頂點分別為A₁（0，$\sqrt{3}$）、A₂（0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)點P（a，b）（a≠±2），則$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{^{2}}{3}$=1．即$\frac{^{2}}{{a}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$
直線PA₂斜率k₂=$\frac{b+\sqrt{3}}{a}$，直線PA₁斜率k₁=$\frac{b-\sqrt{3}}{a}$．
k₁k₂=$\frac{b+\sqrt{3}}{a}$•$\frac{b-\sqrt{3}}{a}$=$\frac{^{2}-3}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$；
k₁=-$\frac{3}{4{k}_{2}}$
∵直線PA₂斜率的取值范圍是[-2，-1]，即：-2≤k₂≤-1
∴直線PA₁斜率的取值范圍是[$\frac{3}{8}，\frac{3}{4}$]．
故答案為：[$\frac{3}{8}，\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查了圓錐曲線的簡單性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了直線的斜率公式及學(xué)生的化簡能力，屬于中檔題