Question

4．定義：數(shù)列{a_n}對一切正整數(shù)n均滿足$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}$＞a_n+1，稱數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”，以下關于“凸數(shù)列”的說法：
①等差數(shù)列{a_n}一定是凸數(shù)列；
②首項a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比數(shù)列{a_n}一定是凸數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}為凸數(shù)列，則數(shù)列{a_n+1-a_n}是單調遞增數(shù)列；
④若數(shù)列{a_n}為凸數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的項構成的子數(shù)列也為凸數(shù)列．
其中正確說法的序號是②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”的定義，逐一分析四個結論的真假，可得答案．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}$=a_n+1，故不是凸數(shù)列，故①錯誤；
②首項a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比數(shù)列{a_n}，滿足$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＞$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=a_n+1，一定是凸數(shù)列，故②正確；
③若數(shù)列{a_n}為凸數(shù)列，則$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}$＞a_n+1，
則a_n+a_n+2＞2a_n+1，
則a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
即數(shù)列{a_n+1-a_n}是單調遞增數(shù)列，故③正確；
④若數(shù)列{a_n}為凸數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的項構成的子數(shù)列也為凸數(shù)列，故④正確；．
故答案為：②③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了新概念“凸數(shù)列”，難度不大，屬于中檔題．