Question

11．現(xiàn)有一倒放圓錐形容器，該容器深24m，底面直徑為6m，水以5πm³/s的速度流入，則當(dāng)水流入時(shí)間為1s時(shí)，水面上升的速度為$\frac{4\root{3}{15}}{3}$．

Answer 1

分析 由平行線分線段成比例得出水面的半徑與水高的關(guān)系，由圓錐的體積公式求出水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，對(duì)水深求導(dǎo)即為水面上升的速度．

解答 解：設(shè)容器中水的體積在t分鐘時(shí)為V，水深為h，則V=5πt，
由圖知$\frac{r}{h}$=$\frac{3}{24}$=$\frac{1}{8}$
∴r=$\frac{1}{8}$h
∴V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{192}$πh³，
∴5πt=$\frac{1}{192}$πh³，
∴h=4•$\root{3}{15}$•$\root{3}{t}$
∴v=h′（t）=4•$\frac{1}{3}$$\root{3}{15}$•${t}^{-\frac{2}{3}}$
∴v=$\frac{4\root{3}{15}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\root{3}{15}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的體積公式以及平行線分線段成比例定理和對(duì)水深求導(dǎo)即為水上升的速度等問(wèn)題，是易錯(cuò)題．