Question

已知兩定點(diǎn)A、B,一動(dòng)點(diǎn)P,如果∠PAB和∠PBA中的一個(gè)是另一個(gè)的2倍,求P點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

P點(diǎn)軌跡方程為(x+)²－=a²(y≠0).

認(rèn)真分析題設(shè)條件,綜合利用平面幾何的知識(shí),列出幾何等式,再利用解析幾何的一些概念、公式、定理等將幾何等式坐標(biāo)化,便得曲線的方程,還要將所得方程化簡,使求得的方程是最簡單的形式.
∵給出了∠PAB和∠PBA中的一個(gè)是另一個(gè)的2倍,即∠PAB=2∠PBA或∠PBA="   " 2∠PAB,將k_PA、k_PB代入二倍角公式,即得到P點(diǎn)的軌跡方程.
如下圖所示建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－a,0)、(a,0),P(x,y).
∵k_PA=tanα=,                                                                                              ①
k_PB=tan(180°－β)=－tanβ=－,                                                               ②
當(dāng)α=2β時(shí),tanα=.                                                                              ③
將①②代入③,得=.
化簡后得P點(diǎn)的軌跡方程為(x－)²－=a²(y≠0).
當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí),即β=2α,同時(shí)可得P點(diǎn)軌跡方程為(x+)²－=a²(y≠0).