Question

3．在數(shù)列{a_n}中，若存在非零實(shí)數(shù)T，使得${a_{n+T}}={a_n}（{N∈{n^*}}）$成立，則稱數(shù)列{a_n}是以T為周期的周期數(shù)列．若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=|b_n-b_n-1|，且b₁=1，b₂=a（a≠0），則當(dāng)數(shù)列{b_n}的周期最小時，其前2017項(xiàng)的和為（　　）

• A． 672
• B． 673
• C． 3024
• D． 1345

Answer 1

分析 首先要弄清題目中所說的周期數(shù)列的含義，然后利用這個定義，針對題目中的數(shù)列的周期情況分類討論，從而將a值確定，進(jìn)而將數(shù)列的前2017項(xiàng)和確定．

解答 解：若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項(xiàng)都等于1，此時a=1，
該數(shù)列的項(xiàng)分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列；
若其最小周期為2，則有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此時該數(shù)列的項(xiàng)依次為1，2，1，1，0，…，由此可見，此時它并不是以2為周期的數(shù)列．
綜上所述，當(dāng)數(shù)列{b_n}的周期最小時，其最小周期是3，a=1，又2017=3×672+1，
故此時該數(shù)列的前2017項(xiàng)和是672×（1+1+0）+1=1345．
故選：D

點(diǎn)評 此題考查對新概念的理解，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．