7.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=a,E是BC的中點(diǎn),將△BAE沿著AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD.

(Ⅰ)若F為B1D的中點(diǎn),求證:B1E∥平面ACF;
(Ⅱ)求平面ADB1與平面ECB1所成二面角的正弦值.

分析 (Ⅰ)連接ED交AC于O,連接OF,則FO∥B1E,由此能證明B1E∥面ACF.
(Ⅱ)取AE的中點(diǎn)M,分別以ME,MD,MB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能求出平面ADB1與平面ECB1所成二面角的正弦值.

解答 證明:(Ⅰ)連接ED交AC于O,連接OF,因?yàn)锳ECD為菱形,OE=OD,
又F為B1D的中點(diǎn),所以FO∥B1E,
因?yàn)镕O?面ACF,B1F?面ACF,
所以B1E∥面ACF.
解:(Ⅱ)取AE的中點(diǎn)M,連接B1M,MD,
分別以ME,MD,MB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
A(-$\frac{a}{2}$,0,0),D(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,0),B1(0,0,$\frac{\sqrt{3}}{2}a$),E($\frac{a}{2}$,0,0),
C(a,$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,0),
$\overrightarrow{AD}$=($\frac{a}{2}$,$\frac{\sqrt{3}a}{2}$,0),$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=($\frac{a}{2}$,0,$\frac{\sqrt{3}}{2}a$),
$\overrightarrow{EC}$=($\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}$,0),$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=(-$\frac{a}{2}$,0,$\frac{\sqrt{3}a}{2}$),
設(shè)平面ADB1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}z=0}\end{array}\right.$,取a=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,-1,-1),
設(shè)平面ECB1的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=-\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}z=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,-1,1),
設(shè)平面ADB1與平面ECB1所成二面角的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{5}$,∴sin$θ=\frac{4}{5}$.
∴平面ADB1與平面ECB1所成二面角的正弦值為$\frac{4}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016-2017學(xué)年河北正定中學(xué)高二上月考一數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:選擇題

設(shè)集合,,則等于( )

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x}$+ax+b,a,b∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)-2是奇函數(shù),且在(0,+∞)上的最小值為4,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)g(x)=2f(x)-x在[$\frac{1}{2}$,2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的最小值;
(3)設(shè)F(x)=|f(x)|,對(duì)任意的實(shí)數(shù)b,都存在實(shí)數(shù)x0∈[$\frac{1}{2}$,2],使得F(x)$≥\frac{1}{2}$恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.已知向量$\overrightarrow{OA}=(2,0),\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=(0,1)$,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離等于d,并且滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k(\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}),k$為非負(fù)實(shí)數(shù)
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1的方程
(2)若將曲線C1向左平移一個(gè)單位得到曲線C2,試指出C2為何種類型的曲線;
(3)若0<k<1,F(xiàn)1、F2是(2)中曲線C2的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求∠F1PF2取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的位置.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.向圓(x-1)2+(y+3)2=36內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在直線3x-4y=0的左上方的概率為$\frac{1}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4π}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩相異點(diǎn)A、B兩點(diǎn)滿足:
①點(diǎn)A、B都在函數(shù) f (x) 的圖象上;②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
則點(diǎn)對(duì) (A,B) 是函數(shù) f (x) 的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì) (A,B) 與 (B,A) 可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.已知函數(shù) f (x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x,x<0}\\{\frac{x+1}{e},x≥0}\end{array}\right.$,則 f (x) 的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有( 。
A.0 個(gè)B.1 個(gè)C.2 個(gè)D.3 個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.如圖,四邊形ABCD為矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于點(diǎn)F,且點(diǎn)F在CE上.
(1)求證:AE⊥BE;
(2)求三棱錐D-AEC的體積;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面DAE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),△PF1F2的面積最大值為$\sqrt{3}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)從圓x2+y2=16上一點(diǎn)P向橢圓C引兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)時(shí),求|MN|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知四棱錐P-ABCD底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,且AD與BC平行,AD=2AB=2BC=2,△PAD是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,且二面角P-AD-C為直二面角.
(1)求證:PD⊥平面PAB;
(2)求平面PAC與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案